こんばんわ！

お腹が減って力がでない眼鏡Pです。
＃頑張ります。

では、2024年島根県公立高校入試問題の過去問の数学を「かいせつ」していきます。

数学
4⃣

■ 問3

(1)

答え：a＝1／4

かいせつ
直線ℓの式が $y=x+4$y=x+4 なので、$y=0$y=0 を代入すると
0＝x＋4
x＝−4
よって、C（−4，0）。

また、D（0，4）。

四角形DCOPは平行四辺形より、
OC＝PD。
OCはC（−4，0）とO（0，0）より長さ4なので、PD＝4。

直線OBは $y=x$y=x（図より）なので、点Pは $y=x$y=x 上で $y=4$y=4 を満たす。
y＝x に y＝4 を代入すると x＝4。
よって、P（4，4）。

点Pは放物線 $y=ax^2$y=ax2 上の点でもあるから、
4＝a×4²＝16a
よって、a＝1／4。

────────────────────

(2)
答え：△OPQ：△BPR＝8：3

かいせつ
点Rのy座標は4なので、放物線 $y=x^2$y=x2（※図の①）に $y=4$y=4 を代入すると
4＝x²
x＝±2。
図より x＞0 だから x＝2。
よって、R（2，4）。

D（0，4）とP（4，4）を結ぶ線分DPの中点は（2，4）なので、
Rは線分DPの中点である。

△BPR と △BPD は底辺をそれぞれ PR，PD とすると、どちらも高さが等しい（点Bから直線DPへの高さ）。
したがって面積比は底辺比に等しい。

RはDPの中点より
PR：PD＝2：4＝1：2

よって
△BPR＝(1／2)△BPD ……①

次に、Bのx座標が1、Pのx座標が4より
OB：OP＝1：4

同じ高さ（直線ℓへの距離）をもつ三角形で、底辺比が OB：OP だから
△BPD：△OPD＝(4−1)：4＝3：4
よって
△BPD＝(3／4)△OPD ……②

①②より
△BPR＝(1／2)×(3／4)△OPD＝(3／8)△OPD

また、OP ∥ CD なので、平行線と面積の関係より
△OPD＝△OPQ

したがって
△BPR＝(3／8)△OPQ

よって
△OPQ：△BPR＝8：3

以上になります。
※意味や画像などはWikipediaなど、さまざまなサイト様を参考にしています。

本日もご覧くださり、ありがとうございました！

2024年島根県公立高校入試問題の過去問の数学でした。次回からはこの続きを「かいせつ」していきます。

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