こんばんは！
かかとが割れた眼鏡Pです。
＃もうじいさんだよ（笑）
では、2025年島根県公立高校入試問題の過去問の数学を「かいせつ」していきます。
数学
5⃣
図2のように，点Bと点Dから辺ACに引いた垂線と辺ACとの交点をそれぞれE，Fとする。
〈1〉 △CFD∽△CEBであることを証明しなさい。
△CFD と △CEB において
BE⊥AC，DF⊥AC より，
∠CFD＝∠CEB＝90° …①
また，CFとCEはともにAC上にあり、CDとCBはともにBC上にあるので、
∠CDF＝∠ECB …②
①，②より，2組の角がそれぞれ等しいから，
△CFD∽△CEBである。
〈2〉 3点A，B，Eを通る円の中心をOとする。
（1）点Oを作図して求めなさい。
△AEB は，BE⊥AC，AとEがAC上にあるので，
∠AEB＝90°である。
よって，3点A，B，Eを通る円では，ABが直径になり，
円の中心Oは線分ABの中点である。
したがって，
線分ABの垂直二等分線を引き，
その線とABとの交点をOとすればよい。
（2）線分OFの長さを求めなさい。
△ADC で，∠D＝90°，∠C＝45°なので，
△ADCは直角二等辺三角形である。
したがって，AD＝DC＝2√3 および
ACはその斜辺なので，
AC＝2√3×√2＝2√6
となる。
このとき，DF⊥AC でDが直角頂点なので，
DFは斜辺ACの高さであり，
直角二等辺三角形の性質から，FはACの中点となる。
よって，
AF＝FC＝AC／2＝√6
一方，OはABの中点なので，
AO＝OB＝AB／2＝2
△ABCにおいて，OはABの中点，FはACの中点だから，
OFは三角形ABCの中点連結線であり，
OF＝BC／2
である。
問1の結果より，BC＝2＋2√3 なので，
OF＝(2＋2√3)／2
＝1＋√3
【答】OF＝1＋√3 cm
（3）△EOFの面積を求めなさい。
まず，EFの長さを求める。
(1)で示した相似より，△CFD∽△CEB なので，
対応する辺の比は
CF：CE＝CD：CB
となる。
CD＝2√3，CB＝2＋2√3，CF＝√6 なので，
CE＝CF×CB／CD
＝√6×(2＋2√3)／(2√3)
＝√6×(1＋√3)/√3
＝√2(1＋√3)
＝√2＋√6
したがって，
EF＝CE−CF
＝(√2＋√6)−√6
＝√2
次に，OFに垂直な線を点Eから引き，OFとの交点をGとする。
EG⊥OF なので，△EFGは直角三角形である。
また，FGはBCと平行，FEはACと平行なので，
∠EFGは∠ACB（＝45°）に等しい。
∠EGF＝90° より，残りの ∠EFG も45°となるから，
△EFGは45°−45°−90°の直角二等辺三角形
である。
よって，EFが斜辺なので，
EG＝FG＝EF／√2
＝√2／√2
＝1
最後に，△EOFの面積を求める。
OFを底辺，EGを高さとみると，
面積 ＝ OF×EG÷2
＝ (1＋√3)×1÷2
＝ (1＋√3)/2
【答】△EOFの面積 ＝ (1＋√3)/2 cm²
以上になります。
※意味や画像などはWikipediaなど、さまざまなサイト様を参考にしています。
本日もご覧くださり、ありがとうございました！
2025年島根県公立高校入試問題の過去問の数学でした。次回からは2024年島根県公立高校入試問題の過去問の国語を「かいせつ」していきます。
よろしくお願いいたします！
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